Cho hình vuông ABCD , gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh AJ vuông góc DI

Đáp án:

 AJ ⊥ DI

Giải thích các bước giải:

Gọi M là trung điểm của BJ

→BM = $\frac{1}{2}$ BJ=$\frac{1}{4}$ BC

Vì I là trung điểm AB → BI = $\frac{1}{2}$ AB

Xét tam giác DAI và tam giác IBM:

∧ DAB = ∧ IBM = 90 độ

$\frac{IB}{AD}$ = $\frac{1}{2}$

$\frac{BM}{AI}$ = $\frac{1}{2}$

→ ΔDAB ∽ Δ IBM ( g-c-g)

ta có ∧ IMB + ∧IMC = 180 độ

mà ∧ IMB = ∧ AID = ∧IDC (ABCD là hình vuông)(ΔDAB ∽ Δ IBM)

→ ∧ IDC + ∧ IMC = 180 độ

Xét tứ giác DIMC có

∧ IDC + ∧ IMC + ∧ DIM + ∧ BCD = 380 độ

→ ∧ DIM + ∧ BCD = 180 độ

mà ∧ BCD = 90 độ ( ABCD là hình vuông)

→ ∧ DIM = 90 độ

→ DI ⊥ IM 

Xét Δ ABJ có:

IM // AJ (IM là đường trung bình của tam giác ABJ)

→ DI ⊥ AJ ( đpcm)