Cho hình tứ giác ABCD, I là trung điểm của BC. CMR $\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$= $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{AB}^{2}$ + $\overrightarrow{AC}^{2}$ - $\overrightarrow{BC}^{2}$)

Ta có:

`\vec{AB}^2=AB^2;\vec{AC}^2=AC^2;\vec{BC^2}=BC^2`

Áp dụng định lý cosin trong `∆ABC` ta có:

`cos\hat{BAC}={AB^2+AC^2-BC^2}/{2AB.AC}`

`=>AB^2+AC^2-BC^2=2AB.AC.cos\hat{BAC}`

`=>\vec{AB}^2+\vec{AC}^2-\vec{BC}^2=2AB.AC.cos\hat{BAC}`

`=>1/ 2 (\vec{AB}^2+\vec{AC}^2-\vec{BC}^2)=AB.AC.cos\hat{BAC}`

Ta lại có:

`\qquad \vec{AB}.\vec{AC}`

`=|\vec{AB}|.|\vec{AC}|.cos(\vec{AB};\vec{AC})``=AB.AC.cos\hat{BAC}` 

`=>\vec{AB}.\vec{AC}=1/ 2 (\vec{AB}^2+\vec{AC}^2-\vec{BC}^2)` (đpcm)

Giải thích các bước giải:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}.(\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AC}^2-\overrightarrow{BC}^2)$

$<=>\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}.(AB^2+AC^2-BC^2)$

$<=>2. |AB|.|AC|.\cos(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}) = AB^2+AC^2-BC^2$

$<=> AB^2+AC^2-BC^2 - 2. |AB|.|AC|.\cos(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=0$ $(1)$

Ta có: $\cos(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}) = \dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}$

$=>(1): AB^2+AC^2-BC^2 - 2. |AB|.|AC|.\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=0$ 

$<=> AB^2+AC^2-BC^2 -(AB^2+AC^2-BC^2) = 0$

$<=> 0 = 0 $ (Luôn đúng) $(Đpcm)$