Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AH ⊥ BD a) Chứng minh Δ AHD đồng dạng với Δ DCB và BC.BC=DH.DB b) Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của AH. Chứng minh MH.BD=MN.DC c) Gọi E là trung điểm của ủa DC. Chứng minh MNDE là hình bình hành d) Chứng minh AM ⊥ ME

Đáp án:

a) $\triangle AHD\backsim\triangle DCB, BC.BC=DH.DB$

b) $MH.BD=MN.DC$

c) Tứ giác MNDE là hình bình hành

d) $AM\bot ME$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle AHD$ và $\triangle DCB$:

$\widehat{AHD}=\widehat{DCB}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{ADH}=\widehat{DBC}$ (so le trong)

$\to\triangle AHD\backsim\triangle DCB$ (g.g)

$\to\dfrac{DH}{AD}=\dfrac{BC}{DB}\\\to AD.BC=DH.DB$

Mà $AD=BC$ (tứ giác ABCDE là hình chữ nhật)

$\to BC.BC=DH.DB$

b)

Xét $\triangle AHB$:

M là trung điểm của BH (gt)

N là trung điểm của AH (gt)

$\to$ MN là đường trung bình của $\triangle AHB$

$\to MN//AB, MN=\dfrac{1}{2}AB\\\to MN//CD, MN=\dfrac{1}{2}CD$

Xét $\triangle MHN$ và $\triangle DCB$:

$\widehat{MHN}=\widehat{DCB}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{NMH}=\widehat{BDC}$ (so le trong)

$\to\triangle MHN\backsim\triangle DCB$ (g.g)

$\to\dfrac{MH}{MN}=\dfrac{DC}{DB}\\\to MH.DB=MN.DC$

c)

Xét tứ giác MNDE:

$MN//DE\,\,\,(MN//CD)\\MN=DE\,\,\,\left(=\dfrac{1}{2}CD\right)$

$\to$ Tứ giác MNDE là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

d)

Xét $\triangle ADM$:

$AH\bot DM\,\,\,(AH\bot BD)\\MN\bot AD\,\,\,(MN//AB, AB\bot AD)$

N là giao điểm của AH và MN $(N\in AH)$

$\to$ H là trực tâm của $\triangle ADM$

$\to DN\bot AM$

Tứ giác MNDE là hình bình hành (cmt)

$\to ND//ME$

$\to AM\bot ME$