Cho hình chóp SABCD. Tính thể tích hình chóp biết ABCD là hình vuông có AB=a, SBD là tam giác đều và SA=a
2 câu trả lời
Đáp án:
$V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3}{3}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $O$ là tâm của đáy
$\Rightarrow \begin{cases}AC = BD = a\sqrt2\\OA = OB = OC =OD =\dfrac{a\sqrt2}{2}\end{cases}$
$\Rightarrow SO = \dfrac{a\sqrt6}{2}\quad (\triangle SBD\ \text{đều})$
Ta có:
$\begin{cases}SB = SD\\AB = AD\\CB = CD\end{cases}$
$\Rightarrow (SAC)\perp BD$
mà $BD\subset (ABCD)$
nên $(SAC)\perp (ABCD)$
Xét $\triangle SAO$ có:
$SO = \dfrac{a\sqrt6}{2}$
$OA = \dfrac{a\sqrt2}{2}$
$SA = a$
$\Rightarrow \triangle SAO$ vuông tại $A$
$\Rightarrow SA\perp AO$
$\Rightarrow SA\perp AC$
Khi đó:
$\begin{cases}(SAC)\perp (ABCD)\quad (cmt)\\(SAC)\cap (ABCD) = AC\\SA\perp AC\quad (cmt)\\SA \subset (SAC)\end{cases}$
$\Rightarrow SA\perp (ABCD)$
Ta được:
$\quad V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SA = \dfrac13\cdot a^2 \cdot a$
$\Leftrightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3}{3}$
Giải thích các bước giải:
Theo đề bài ta có:
$S_{ABCD}=a.a=a^2$
$Do ABCD $ là hình vuông
$⇒AC=BD=a\sqrt2$
$⇒OA=OB=OC=OD=\frac{a\sqrt2}{2}$
Ta có:
$ΔSBD$ đều
Như vậy:
$⇒SB=SD=BD=a\sqrt2$
Gọi O là tâm hình vuông
Như vậy: O là Trung điểm BD
$⇒SO=\frac{a\sqrt6}{2}$
Xét $ΔSAO$ có:
$SA^2+AO^2=a^2+\frac{a^2}{2}=\frac{3a^2}{2}$
mà $SO^2=\frac{3a^2}{2}$
Như vậy theo hệ quả pythagoras:
$⇒ΔSAO$ vuông tại A
Ta có:
$BD⊥SO⊂(SAC)$
$BD⊥AC⊂(SAC)$
$⇒BD⊥(SAC)$
mà $BD⊃(ABCD)$
Như vậy tức là :
$(ABCD)⊥(SAC)$
mà $(ABCD)∩(SAC)=AC$
theo đề bài ta có:
$SA⊥AC(ΔSAC⊥A)$
và $SA⊂(SAC)$
từ đó:
$⇒SA⊥(ABCD)$
Như vậy:
$⇒V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.a^2.a=\frac{a^3}{3}$
#X