Cho hình chóp S.ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD= DC= a,AB= 3a. M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tam giác SNC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Biết góc tạo bởi mặt phẳng (SDC) và đáy bằng 60°. Tính theo a thể tích tích của khối hình chóp S.ABCD và S.MNCB.
2 câu trả lời
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Theo đề bài ta có:
$S_{ABCD}=\frac{(a+3a).a}{2}=2a^2$
Áp dụng pythagoras trong tam giác CND :
$CN=\sqrt{CD^2+ND^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=frac{a\sqrt3}{2}$
Gọi H là trung điểm CN $⇒DH=\frac{1}{2}CN=\frac{a\sqrt3}{4}$
Như vậy theo đề bài ta có:
$(SNC)⊥(ABCD)$
Như vậy:
$⇒SH⊥(ABCD)$
Như vậy:
$\widehat{[(SDC);(ABCD)]}=\widehat{[SD;DH]}=\widehat{SDH}=60^o$
Áp dụng hệ thức lượng giác ta có:
$tan60=\frac{SH}{DH}\\⇒SH=\frac{3a}{4}$
Từ đó:
$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{4}.2a^2=\frac{a^3}{2}$
ta tính được:
$V_{S.AMN}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{4}.\frac{1}{2}.1,5a.\frac{a}{2}=\frac{3a^3}{32}$
$V_{S.CND}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{4}.\frac{1}{2}.\frac{a}{2}=\frac{a^3}{16}$
Như vậy:
$⇒V_{S.MNCB}=V_{S.ABCD}-V_{S.AMN}-V_{S.CND}=\frac{a^3}{2}-\frac{3a^3}{32}-\frac{a^3}{16}=\frac{11a^3}{32}$
#X