Cho hình bình hành ABCD O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD gọi M , N lần lượt là trung điểm của OB và OD. Chứng minh AMNC là hình bình hành.Tia AM cắt BC ở E tia CN cắt AD ở F, chứng minh AECF là hình bình hành. Chứng minh 3 đường thẳng AC,BD,EFđồng quy

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Vì ABCD là hình bình hành

Mà Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

Nên \(OA=OC\) và \(OB=OD\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}OB=\dfrac{1}{2}OD\)

\(\Leftrightarrow DN=NO=OM=MB\)

Xét tứ giác AMCN, có:

\(AO=OC\) (chứng minh trên)

\(NO=OM\) (chứng minh trên)

AMCN là hình bình hành.

Mà hình bình hành là dạng đặc biệt của hình thang

Nên AMCN là hình thang.

-------------------

Ý 2: Chứng minh 3 đường thẳng AC,BD,EF đồng quy

Tứ giác AECF có: AE // CF; AF // CE

=> AECF là hình bình hành

mà O là trung điểm AC

=> AC và EF giao tại O

Vậy AC, BD, EF đồng quy tại O

1) Ta có: $OA=OC\Rightarrow O$ là trung điểm $AC$ và

$ON=OM(=\dfrac{1}{2}OD=\dfrac{1}{2}OB)$

$\Rightarrow O$ là trung điểm cạnh $MN$

$\Rightarrow$ Tứ giác $AMCN$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow AMCN$ là hình bình hành.

2) Tứ giác $AMCN$ là hình bình hành

$\Rightarrow AM\parallel NC$

Hay $AE\parallel FC$ (1)

Mà $AD\parallel BC\Rightarrow AF\parallel EC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AECF$ là hình bình hành.

3) $AECF$ là hình bình hành

$\Rightarrow AC\cap EF$ tại trung điểm mỗi đường

$O$ là trung điểm của $AC\Rightarrow O$ là trung điểm của $EF$

Mà $O$ cũng là trung điểm của $BD$

$\Rightarrow AC,BC,EF$ đồng quy tại $O$.