Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Gọi M N P Q lần lượt là trung điểm của các đoại OA,OB,OC,OD. Chứng minh rằng a, Tứ giác MNPQ là hình bình hành b, Các tứ giác ANCQ, BPDM là các hình bình hành

`a)` Do `M` là trung điểm `OA`     ( gt )

            `N` là trung điểm `OB`     ( gt )

`⇒` `MN` là đường trung bình của `ΔOAB`

`→` `MN//AB` và `MN` = `1/2` . `AB`

`→` `MN //CD`                `(1)`

      `MN` = `1/2` . `CD`

Ta có `:` `P` là trung điểm `OC`

             `Q` là trung điểm `OD` 

`⇒` `PQ` là đường trung bình `ΔOCD`

`→` `PQ // CD`               `(2)`

      `PQ` = `1/2` .  `CD`

Từ `(1)` và `(2)` `⇒` `MNPQ` là hình bình hành `(đpcm)`

`b)` Do `N` là trung điểm `OB`

            `Q` là trung điểm `OD`

mà `OB = OD`

nên `ON` = `1/2` . `OB`

               = `1/2` . `OD`

               = `OQ`

Xét `ΔONC` và `ΔOQA` ta có `:`

`ON = OQ`

`OA = OC`

`CON` = `AOQ` ( 

`⇒` `ΔONC` = `ΔOQA` `(c.g.c)`

`→` `NC` = `AQ` ( `2` cạnh tương ứng )

      `OCN` = `OAQ` ( `2` góc tương ứng )   `(3)`

mà `OCN` và `OAQ` ở vị trí so le trong      `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` `⇒` `AQ // NC`

Vậy tứ giác `ANCQ` là hình bình hành `(đpcm)`

* ta chứng minh như những điều trên 

`⇒` `BD // DM`

`→` tứ giác `BPDM` là hình bình hành

a) Do M là trung điểm OA, N là trung điểm OB nên MN là đường trung bình của tam giác OAB, vậy MN//AB và MN = 1/2 AB. Suy ra MN //CD và MN = 1/2 CD.

Mặt khác, lại có P là trung điểm OC, Q là trung điểm OD nên PQ là đường tbinh tam giác OCD, suy ra PQ // CD và PQ = 1/2 CD.

Từ 2 điều trên, ta suy ra MNPQ là hình bình hành (Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song bằng nhau).

b) Do N là trung điểm OB, Q là trung điểm OD, mà OB = OD nên ON = 1/2 OB = 1/2 OD = OQ.

Xét tam giác ONC và tam giác OQA ta có

ON = OQ

OA = OC

$\widehat{CON} = \widehat{AOQ}$ (đối đỉnh)

Vậy tam giác ONC = tam giác OQA. Do đó NC = AQ và $\widehat{OCN} = \widehat{OAQ}$.

Mà 2 góc đó ở vị trí so le trong nên ta có AQ // NC.

Vậy tứ giác ANCQ là hình bình hành.

CMTT với tứ giác BPDM ta có đpcm.