cho hàm số f(x) = -x^2 + 4|x-1| +x. Gía trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên [ -3;3] lần lượt là M,m là ?

Đáp án:

\(M = \dfrac{{25}}{4};\,\,m = 0\).

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) =  - {x^2} + 4\left| {x - 1} \right| + x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 4 + x =  - {x^2} + 5x - 4\,\,\left( {{P_1}} \right)\,\,khi\,\,x \ge 1\\f\left( x \right) =  - {x^2} - 4x + 4 + x =  - {x^2} - 3x + 4\,\,\left( {{P_2}} \right)\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vẽ đồ thị hàm số: (Tham khảo hình vẽ bên dưới)

Dựa vào đồ thị hàm số trên \(\left[ { - 3;3} \right]\) ta thấy GTNN \(m = 0\), GTLN đạt tại đỉnh của \(\left( {{P_2}} \right)\), tức là tại \(x =  - \dfrac{3}{2}\), khi đó \(M = y\left( { - \dfrac{3}{2}} \right) =  - {\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)^2} - 3\left( { - \dfrac{3}{2}} \right) + 4 = \dfrac{{25}}{4}\).

Vậy \(M = \dfrac{{25}}{4};\,\,m = 0\).