cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là x-3y+10=0, 2x+y-8=0, và P(0;1) Tìm pt đường thẳng qua P và cắt hai đường thẳng đã cho tại 2 điểm sao cho P là trung điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm đó

Đáp án: $x+4y-4=0$

Giải thích các bước giải:

Gọi $d:x-3y+10=0$

Gọi $\Delta :2x+y-8=0$

Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua $P\left( 0;1 \right)$ cắt $d,\Delta $

Gọi $A\left( a;b \right)$

Vì $A\in d:x-3y+10=0$

Nên $a-3b+10=0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Vì $P$ là trung điểm $AB$

Nên $\begin{cases}x_P=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\y_P=\dfrac{y_A+y_B}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_B=2x_P-x_A=2.0-a=-a\\y_B=2y_P-y_A=2.1-b=2-b\end{cases}$

Vậy $B\left( -a;2-b \right)$

Mà $B\in \Delta :2x+y-8=0$

Nên $2\left( -a \right)+\left( 2-b \right)-8=0$

$\Leftrightarrow -2a-b-6=0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có hệ $\begin{cases}a-3b+10=0\\-2a-b-6=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-4\\b=2\end{cases}$

Vậy $A\left( -4;2 \right)$ và $B\left( 4;0 \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 8;-2 \right)=2\left( 4;-1 \right)$

$\Rightarrow $Đường thẳng đi qua $P\left( 0;1 \right)$ có một VTCP là $\left( 4;-1 \right)$

$\Rightarrow $Đường thẳng đi qua $P\left( 0;1 \right)$ có một VTPT là $\left( 1;4 \right)$

Nên phương trình đường thẳng có dạng:

$1\left( x-0 \right)+4\left( y-1 \right)=0\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,x+4y-4=0$