Cho đường tròn tâm O điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn tâm O (M ,N thuộc đường tròn) qua điểm A vẽ cáT tuyến ABC ( B nằm giữa A và C) H là trung điểm của BC a, Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp b.Chứng minh tam giác BMA dồng dạng với tam giác MCA và CM AM^2= AB. AC C, vẽ đoạn MN. Từ B vẽ BE//AM (E thuộc MN). Chứng minh BEHN nội tiếp d, CM HE//MC

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Chứng Minh tứ giác AMHN nội tiếp

Ta có OB=OC=R ⇒ΔOBC Cân tại O

Ta lại có H là trung điểm của BC ⇒ H đồng thời là đường cao của tam giác OBC

⇒ ∠OHB = 90

M là tiếp tuyến với đường tròn tâm O ⇒ ∠OMA =90

Xét tứ giác OHMA có

∠OHB=∠OMA=90 độ

mà 2 góc kề nhau cùng nhìn xuống cạnh AO 

⇒ Tứ giác AMHO nội tiếp đường tròn đường kính AO (1)

N là tiếp tuyến với đường tròn tâm O => ∠ANO = 90

Xét tứ giác AHON có ∠AHO+∠ANO = 180 

mà 2 góc này đối nhau 

=> tứ giác AHON nội tiếp  đường tròn đường kính AO (2)

từ ( 1) và (2) ta thấy 2 tứ giác nội tiếp này có 3 điểm chung A,H,O ⇒ A,M,H,O,N cùng thuộc đường tròn đường kính AO

⇒ Tứ giác AMHN nội tiếp

b) Chứng minh ΔBMA ~ ΔMCA và AM²=AB.AC

Ta có góc BMA = $\frac{1}{2}$sđ ∠BM ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

∠BCM=$\frac{1}{2}$ sđ BM( góc nội tiếp chắn cung BM)

⇒ ∠BCM = ∠BMA

Xét tam giác BMA và tam giác MCA có

∠BMA = ∠BCM ( cmt)

∠MAC chung

⇒ΔBMA ~ ΔMCA (g.g)

=> $\frac{AM}{AB}$  = $\frac{AC}{AM}$ ( tỉ lệ 2 cạnh tương ứng )

⇒ AM²=AB.AC( ĐPCM )

C, Vẽ đoạn MN. Từ B vẽ BE//AM (E thuộc MN). Chứng minh BEHN nội tiếp

Vì BE // AM ( gt) ⇒ ∠BEN = ∠AMN

Vì ta có AMHN nội tiếp ( cmt) ⇒ ∠AMN = ∠AHN 

=> ∠BEN = ∠AHN

Xét tứ giác BEHN có

∠BEN = ∠AHN ( cmt)

mà 2 góc này kề nhau cùng nhìn xuống cạnh BN

⇒ Tứ giác BEHN nội tiếp

d, CM HE//MC

Tứ giác BEHN nội tiếp ( cmt ) => ∠HEN = ∠HBN 

mà ta lại có ∠CMN = ∠CBN ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung CN )

⇒ ∠HEN = ∠CMN

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 

⇒ HE//MC