Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{2}$ giải chi tiết không giải tắt!

Áp dụng BĐT $\text{Cô - si}$, ta có:

`1/(a + b) + 9/4  (a + b) ≥ 2.\sqrt{1/(a + b) . 9/4 (a + b)} = 2. 3/2 = 3`

`1/(b + c) + 9/4  (b + c) ≥ 2.\sqrt{1/(b + c) . 9/4 (b + c)} = 2. 3/2 = 3`

`1/(a + c) + 9/4  (a + c) ≥ 2.\sqrt{1/(a + c) . 9/4 (a + c)} = 2. 3/2 = 3`

`⇒ 1/(a + b) + 9/4  (a + b) + 1/(b + c) + 9/4  (b + c) + 1/(a + c) + 9/4  (a + c) ≥ 3 + 3 + 3 = 9`

`<=> (1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(a + c)) + [9/4  (a + b) + 9/4  (b + c) + 9/4 (a + c)] ≥ 9`

`⇔ (1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(a + c)) + [9/4  (a + b + b + c + a + c)] ≥ 9`

`⇔ (1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(a + c)) + [9/4 . 2(a + b + c)] ≥ 9`

`⇔ (1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(a + c)) + (9/4 . 2 . 1) ≥ 9`

`⇔ 1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(a + c) ≥ 9 - 9/4 . 2 . 1`

`⇔ 1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(a + c) ≥ 9/2`

Dấu $``$$="$ xảy ra khi: 

$\begin{cases} \dfrac{1}{a +b} = \dfrac{9}{4}(a + b)\\\dfrac{1}{b +c} = \dfrac{9}{4}(b + c)\\\dfrac{1}{a + c} = \dfrac{9}{4}(a + c) \end{cases}$

`⇔ a = b = c = 1/3`