cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. cmr: $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-c}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Giải thích các bước giải:

`1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b)ge1/a+1/b+1/c`
Do `a,b,c` là độ dài ba cạnh của `1` tam giác
`=>1/(a+b-c);1/(b+c-a);1/(c+a-b)>0`
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương `1/(a+b-c);1/(b+c-a)` ta có:
`1/(a+b-c)+1/(b+c-a)ge 4/(a+b-c+b+c-a)=4/(2b)=2/(b)(1)`
Tương tự đối với các số dương `1/(b+c-a);1/(c+a-b)` và `1/(a+b-c);1/(c+a-b)`
`1/(b+c-a)+1/(c+a-b)ge4/(b+c-a+c+a-b)=4/(2c)=2/(c)(2)`
`1/(a+b-c)+1/(c+a-b)ge4/(a+b-c+c+a-b)=4/(2a)=2/(a)(3)`
Cộng vế với vế của BĐT `1;2;3` ta có:
`1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b)+1/(a+b-c)+1/(c+a-b)ge2/b+2/c+2/a`
`<=>2/(a+b-c)+2/(b+c-a)+2/(c+a-b)ge2 . (1/a+1/b+1/c)`
`<=>2.(1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b))ge2 . (1/a+1/b+1/c)`
`<=>1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b)ge1/a+1/b+1/c(text{ĐPCM})`
Dấu `=` xảy ra khi `a=b=c`

Áp dụng BĐT Bunhia dạng phân thức ta được :

`1/(a+b-c)+1/(b+c-a)>= (1+1)^2/(2b)=4/(2b)=2/b`

Tương tự :

`1/(c+a-b) + 1/(a+b-c)>= 2/a`

`1/(b+c-a)+1/(c+a-b)>= 2/c`

Cộng theo vế các BĐT ta được :

`2(1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b))>= 2(1/a+1/b+1/c)`

`->1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b)>= 1/a+1/b+1/c`

Dấu "`=`" xảy ra khi : `a=b=c`