Cho `a,b,c` dương, chứng minh `\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}>= \frac{a+b+c}{2}`

$\text{Đáp án + giải thích các bước giải}$

$\\$ Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương, ta có : 
$\\$ `a^2/(b+c) + (b+c)/4 ge 2sqrt(a^2/(b+c). (b+c)/4) = 2sqrt(a^2/4) = 2.a/2 = a`

$\\$ Tương tự, ta cũng có :
$\\$ `b^2/(c+a) + (c+a)/4 ge b`

$\\$ `c^2/(a+b) + (a+b)/4 ge c`

$\\$ `=> a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) + (b+c)/4 + (c+a)/4 + (a+b)/4 ge a + b + c`

$\\$ `=> a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) + (2(a+b+c))/4 ge a+b+c`

$\\$ `=> a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) + (a+b+c)/2 ge a+b+c`

$\\$ `=>a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) ge (a+b+c)/2`(ĐPCM)

$\\$ Dấu `=` xảy ra `\Leftrightarrow a = b = c` 

$\\$ Vậy : ...