Cho `a,b,c` dương, chứng minh `\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}>= \frac{a+b+c}{2}`
2 câu trả lời
Đáp án + Giải thích các bước giải:
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge 2\sqrt{\dfrac{a^2}{b+c}.\dfrac{b+c}{4}}=2.\dfrac{a}{2}=a$
$⇒\dfrac{a^2}{b+c}\ge a-\dfrac{b+c}{4}$
Tương tự $\dfrac{b^2}{a+c}\ge b-\dfrac{a+c}{4}$; $\dfrac{c^2}{a+b}\ge c-\dfrac{a+b}{4}$
Cộng từng vế của ba bất đẳng thức ta được
$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^{2}}{a+b}\ge (a+b+c)-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}$
Dấu "$=$" xảy ra khi $a=b=c$
$\text{Đáp án + giải thích các bước giải}$
$\\$ Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương, ta có :
$\\$ `a^2/(b+c) + (b+c)/4 ge 2sqrt(a^2/(b+c). (b+c)/4) = 2sqrt(a^2/4) = 2.a/2 = a`
$\\$ Tương tự, ta cũng có :
$\\$ `b^2/(c+a) + (c+a)/4 ge b`
$\\$ `c^2/(a+b) + (a+b)/4 ge c`
$\\$ `=> a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) + (b+c)/4 + (c+a)/4 + (a+b)/4 ge a + b + c`
$\\$ `=> a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) + (2(a+b+c))/4 ge a+b+c`
$\\$ `=> a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) + (a+b+c)/2 ge a+b+c`
$\\$ `=>a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) ge (a+b+c)/2 `(ĐPCM)
$\\$ Dấu `=` xảy ra ` \Leftrightarrow a = b = c`
$\\$ Vậy : ...
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
