Cho a,b,c,d>0.Cm:1/a+1/b+1/c+1/d>16\a+b+c+d

Giải thích các bước giải:

Áp dụng BĐT Bunhia - Copski:

\[\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + .... + {x_n}^n} \right)\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .... + {a_n}^2} \right) \ge {\left( {{x_1}{a_1} + {x_2}{a_2} + .... + {x_n}{a_n}} \right)^2}\]

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \[\frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{{x_2}}}{{{a_2}}} = .... = \frac{{{x_n}}}{{{a_n}}}\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}
\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}} \right)\left( {a + b + c + d} \right) \ge {\left( {\sqrt {\frac{1}{a}.a}  + \sqrt {\frac{1}{b}.b}  + \sqrt {\frac{1}{c}.c}  + \sqrt {\frac{1}{d}.d} } \right)^2} = {4^2} = 16\\
 \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \ge \frac{{16}}{{a + b + c + d}}
\end{array}\]