Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng : $\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2-bc}$+$\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2-ca}$+$\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2-ab}$ $\leq$ $\frac{3}{2}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt vế trái của bất đẳng thức là A

Ta có: $b^2+c^2 \geq 2bc ⇒bc \leq \dfrac{b^2+c^2}{2}$

$⇒a^2+b^2+c^2-bc \geq a^2+b^2+c^2-\dfrac{b^2+c^2}{2}=\dfrac{2a^2+b^2+c^2}{2}$

$⇒\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2-bc} \leq \dfrac{2a^2}{2a^2+b^2+c^2}$

Mặt khác áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2} \geq \dfrac{(1+3)^2}{a^2+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{16}{2a^2+b^2+c^2}$

$⇒\dfrac{1}{2a^2+b^2+c^2} \leq \dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2} \right)$

$⇒\dfrac{2a^2}{2a^2+b^2+c^2} \leq \dfrac{2a^2}{16}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2} \right)$

$⇒\dfrac{2a^2}{2a^2+b^2+c^2} \leq \dfrac{1}{8}+\dfrac{9a^2}{8(a^2+b^2+c^2)}$

$⇒\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2-bc} \leq \dfrac{1}{8}+\dfrac{9a^2}{8(a^2+b^2+c^2)}$

Tương tự:

$\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2-ca} \leq \dfrac{1}{8}+\dfrac{9b^2}{8(a^2+b^2+c^2)}$

$\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2-ab} \leq \dfrac{1}{8}+\dfrac{9c^2}{8(a^2+b^2+c^2)}$

Cộng vế với vế:

$A \leq \dfrac{3}{8}+\dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{8(a^2+b^2+c^2)}=\dfrac{3}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$