Cho A(2;1), B(-3;2), C(-4;3). a)Tìm tọa độ điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân. b)Tìm tọa độ điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c)Tìm tọa độ điểm E thuộc Ox sao cho AE=BE

Đáp án:

a) \(D\left( {0;4} \right)\) hoặc \(D\left( { - 1; - 1} \right)\).

b) \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{13}}{2}} \right)\).

c) \(E\left( { - \dfrac{4}{5};0} \right)\).  

Giải thích các bước giải:

a) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\).

Tam giác ABD vuông cân tại D

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AD \bot BD\\AD = BD\end{array} \right.\)

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( {x - 2;y - 1} \right)\), \(\overrightarrow {BD}  = \left( {x + 3;y - 2} \right)\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 + {y^2} - 3y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + x - 3y - 4 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}AD = BD\\ \Leftrightarrow A{D^2} = B{D^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} + 6x + 9 + {y^2} - 4y + 4\\ \Leftrightarrow  - 10x + 2y - 8 = 0\\ \Leftrightarrow  - 5x + y - 4 = 0\\ \Leftrightarrow y = 5x + 4\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Thay (2) vào (1) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {\left( {5x + 4} \right)^2} + x - 3\left( {5x + 4} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 25{x^2} + 40x + 16 + x - 15x - 12 - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 26{x^2} + 26x = 0\\ \Leftrightarrow 26x\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 4\\x =  - 1 \Rightarrow y =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(D\left( {0;4} \right)\) hoặc \(D\left( { - 1; - 1} \right)\).

b) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy ra IA = IB = IC.

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} + 6x + 9 + {y^2} - 4y + 4\\{x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} + 8x + 16 + {y^2} - 6y + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10x + 2y - 8 = 0\\ - 12x + 4y - 20 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{{13}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{13}}{2}} \right)\).

c) Gọi \(E\left( {x;0} \right) \in Ox\).

\(\begin{array}{l}AE = BE\\ \Leftrightarrow A{E^2} = B{E^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 = {\left( {x + 3} \right)^2} + 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + 1 = {x^2} + 6x + 9 + 4\\ \Leftrightarrow  - 10x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow x =  - \dfrac{4}{5}\end{array}\)

Vậy \(E\left( { - \dfrac{4}{5};0} \right)\).