A=2 + 2 mũ 1 + 2 mũ 2 +....+2 mũ 60. Chứng minh rằng:A chia hết cho 3;7;15

Ta có

$A = 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{59} + 2^{60}$

$= (1+ 2^1) + 2^2(1+2^1) + \cdots + 2^{59}(1+2^1)$

$= 3+ 2^2.3 + \cdots + 2^{59}.3$

$= 3(1 + 2^2 + \cdots + 2^{59})$

Vậy A chia hết cho 3.

Tiếp theo, ta có

$A = (1 + 2^1 + 2^2) + 2^3(1 + 2^1 + 2^2) + \cdots + 2^{58}(1 + 2^1 + 2^2)$

$= 7 + 2^3 . 7 + \cdots + 2^{58} . 7$

$ = 7(1 + 2^3 + \cdots + 2^{58})$

Vậy A chia hết cho 7.

Mặt khác, ta có

$A = (1 + 2^1 + 2^2 + 2^3) + 2^4(1 + 2^1 + 2^2 + 2^3) + \cdots + 2^{57}(1 + 2^1 + 2^2 + 2^3)$

$= 15 + 2^4.15 + \cdots + 2^{57} . 15$

$= 15(1 + 2^4 + \cdots + 2^{57})$

Vậy A chia hết cho 15.