2 câu trả lời
Đáp án:
$x = k\dfrac{\pi}{2}$ với $k \in \Bbb Z$
Giải thích các bước giải:
$2^{\displaystyle{\vert\sin x\vert}} + 2^{\displaystyle{\vert\cos x\vert}} =3$
Đặt $t = \vert\sin x\vert \qquad (0\leq t \leq 1)$
$\Rightarrow t^2 = \sin^2x$
$\Rightarrow \vert\cos x\vert = \sqrt{1 - t^2}$
Phương trình trở thành:
$2^{\displaystyle{t}} + 2^{\displaystyle{\sqrt{1-t^2}}} =3\qquad (*)$
$(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $y = 2^{\displaystyle{t}} + 2^{\displaystyle{\sqrt{1-t^2}}} $ và đường thẳng $y = 3$
Xét $f(t) = 2^{\displaystyle{t}} + 2^{\displaystyle{\sqrt{1-t^2}}}$
$\Rightarrow f'(t) = \ln2\left(2^{\displaystyle{t}} -\dfrac{t}{\sqrt{1-t^2}}\cdot2^{\displaystyle{\sqrt{1-t^2}}}\right)$
$f'(t) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{2^{\displaystyle{t}}}{t} = \dfrac{2^{\displaystyle{\sqrt{1-t^2}}}}{\sqrt{1-t^2}}\Leftrightarrow t = \sqrt{1 - t^2} \Leftrightarrow t = \dfrac{\sqrt2}{2}\qquad (t \geq 0)$
Xét bảng biến thiên của $f(t)$ trên $[0;1]$
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
t & -\infty & & 0 & & & \dfrac{\sqrt2}{2} & & & 1 & & +\infty\\
\hline
y' & & + & \vert& & + & 0 & - & &\vert& - &\\
\hline
&&&\Big\vert&&&2^{\tfrac{2+\sqrt2}{2}}&&&\Big\vert\\
y & && \vert&& \nearrow& &\searrow& &\vert &\\
&&&3&&&&&&3\\
\hline
\end{array}$
Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận thấy:
Đồ thị hàm số $y= f(t)$ và đường thẳng $y= 3$ cắt nhau tại 2 điểm tại $t=0$ và $t= 1$
Ta có:
$+) \quad t = 0 \Leftrightarrow \begin{cases}\vert\sin x\vert =0\\\vert\cos x\vert = 1\end{cases}\Leftrightarrow x = k\pi\qquad (k \in \Bbb Z)\qquad (1)$
$+) \quad t = 1 \Leftrightarrow \begin{cases}\vert\sin x\vert =1\\\vert\cos x\vert = 0\end{cases}\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\quad (k \in \Bbb Z)\qquad (2)$
Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta được $x = k\dfrac{\pi}{2}\qquad (k \in \Bbb Z)$
Vậy phương trình có họ nghiệm $x = k\dfrac{\pi}{2}$ với $k \in \Bbb Z$