Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A\left( {1;0;1} \right)$, $~B\left( 2;1;2 \right)$,  $D\left( {1; - 1;1} \right)$ và \(C'(4;5; - 5)\).  Khi đó, thể tích của hình hộp đó là:

Hướng dẫn giải:

- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:

Cho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\) ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3})\)

- Cho hai vecto \(\overrightarrow {AB}  = ({a_1};{a_2};{a_3})\)  và \(\overrightarrow {CD}  = ({b_1};{b_2};{b_3})\). Khi đó: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {b_1}\\{a_2} = {b_2}\\{a_3} = {b_3}\end{array} \right.\)  

- Sử dụng công thức tính vô hướng

Cho hai vecto \(\overrightarrow {AB}  = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow {CD}  = ({b_1};{b_2};{b_3})\)ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

- Sử dụng công thức tính tích có hướng:

Cho hai vecto \(\overrightarrow {AB}  = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow {CD}  = ({b_1};{b_2};{b_3})\)ta có:

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)

- Sử dụng công thức tính thể tích khối hộp

                           \({V_{ABCD.A'B'C'D}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]{\rm{.}}\overrightarrow {AA'} } \right|\)