Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\), \(C\left( { - 4;7;5} \right)\). Tọa độ chân đường phân giác trong góc \(\widehat B\) của tam giác \(ABC\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Gọi \(D\) là chân đường phân giác trong góc \(\widehat B\) của tam giác \(ABC\)
Ta có \(\overrightarrow {DA} = - \dfrac{{BA}}{{BC}}\overrightarrow {DC} \). Tính được \(BA = \sqrt {26} \), \(BC = \sqrt {104} \).
Suy ra \(\overrightarrow {DA} = - \dfrac{{\sqrt {26} }}{{\sqrt {104} }}\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA} \).
Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\). Từ \(\overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = - 2\left( {1 - x} \right)\\7 - y = - 2\left( {2 - y} \right)\\5 - z = - 2\left( { - 1 - z} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2/3\\y = 11/3\\z = 1\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải:
- Gọi \(D\) là điểm cần tìm.
- Tìm mối quan hệ giữa hai véc tơ \(\overrightarrow {DC} \) và \(\overrightarrow {DA} \) dựa vào tính chất đường phân giác.
- Dựa vào mối quan hệ trên tìm tọa độ điểm \(D\).