Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ đi qua điểm \(A(2; - 2;5)\) và tiếp xúc với các mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x = 1,\left( \beta \right):y = - 1,\left( \gamma \right):z = 1\). Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$. Do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng \((\alpha),\left( \beta \right),\left( \gamma \right)\) nên ta có ${\rm{d}}\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {I,\left( \beta \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {I,\left( \gamma \right)} \right) = R$
Suy ra $\left| {a - 1} \right| = \left| {b + 1} \right| = \left| {c - 1} \right| = R$
Do điểm $A\left( {2; - 2;5} \right)$ thuộc miền ${\rm{x}} > 1;y < - 1;z > 1$ nên $I\left( {a;b;c} \right)$ cũng thuộc miền ${\rm{x}} > 1;y < - 1;z > 1$
Khi đó $I\left( {R + 1; - 1 - R;R + 1} \right)$. Mặt khác $IA = R \Rightarrow {\left( {R - 1} \right)^2} + {\left( {R - 1} \right)^2} + {\left( {R - 4} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow R = 3$
Hướng dẫn giải:
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng thì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu