Trong không gian \(Oxyz,\) mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {3;1; - 1} \right),\,N\left( {2; - 1;4} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):\,2x - y + 3z + 75 = 0\) có phương trình là
Trả lời bởi giáo viên
Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M,\,\,N \in \left( P \right)\\\left( P \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right.\) $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 2;5} \right)\\\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1;3} \right)\end{array} \right.$
\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 1;13;5} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
\( - \left( {x - 3} \right) + 13\left( {y - 1} \right) + 5\left( {z + 1} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow x - 13y - 5z + 5 = 0\)
Hướng dẫn giải:
- Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Vì \(\left\{ \begin{array}{l}M,\,\,N \in \left( P \right)\\\left( P \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {MN} \\\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\).
- Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
