Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 2t\\y = t\\z =  - 1 + 3t\end{array} \right.,\,\,d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t'\\y =  - 1 + 2t'\\z =  - 2t'\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z + 2 = 0\). Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt hai đường thẳng \(d,\,\,d'\)  có phương trình là:

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.

Giả sử \(A = \Delta  \cap d \Rightarrow A\left( { - 1 - 2t;t; - 1 + 3t} \right)\).

          \(B = \Delta  \cap d' \Rightarrow B\left( {2 + t'; - 1 + 2t'; - 2t'} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2t + t' + 3; - t + 2t' - 1; - 3t - 2t' + 1} \right)\) là 1 VTCP của \(\Delta \).

\(\left( P \right)\) nhận\(\overrightarrow n \left( {1;1;1} \right)\) là 1 VTPT.

Do \(\Delta  \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow n \) là 2 vectơ cùng phương.

\( \Rightarrow 2t + t' + 3 =  - t + 2t' - 1 =  - 3t - 2t' + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t - t' + 4 = 0\\2t + 4t' - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t' = 1\end{array} \right.\) 

\( \Rightarrow A\left( {1; - 1; - 4} \right),\,\,B\left( {3;1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2;2;2} \right)//\left( {1;1;1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{1}\).