Trên mặt phẳng tọa độ\(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có tọa độ các đỉnh là \(A\left( {2;3} \right),{\rm{ }}B\left( {5;0} \right)\) và \(C\left( { - 1;0} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho diện tích tam giác \(MAB\) bằng hai lần diện tích tam giác \(MAC\)
Trả lời bởi giáo viên
Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(y = 0\), vì \(M \in BC\) nên gọi \(M\left( {m;0} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {m - 2; - 3} \right)\) nên \(\overrightarrow n = \left( {3;m - 2} \right)\) là 1 VTPT của đường thẳng \(AM\).
Phương trình đường thẳng \(AM\) là:
\(\begin{array}{l}3\left( {x - 2} \right) + \left( {m - 2} \right)\left( {y - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + \left( {m - 2} \right)y - 6 - 3m + 6 = 0\\ \Leftrightarrow 3x + \left( {m - 2} \right)y - 3m = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {B;AM} \right) = \dfrac{{\left| {15 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,d\left( {C;AM} \right) = \dfrac{{\left| { - 3 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}\end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {B;AM} \right).AM\\{S_{\Delta MAC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {C;AM} \right).AM\end{array} \right. \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} = 2{S_{\Delta MAC}} \Leftrightarrow d\left( {B;AM} \right) = 2d\left( {C;AM} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| {15 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }} = 2\dfrac{{\left| { - 3 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {15 - 3m} \right| = 2\left| { - 3 - 3m} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}15 - 3m = - 6 - 6m\\15 - 3m = 6 + 6m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 7\\m = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(M\left( {1;0} \right)\) hoặc \(M\left( { - 7;0} \right)\).
Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình đường thẳng \(BC\), tham số hóa tọa độ điểm \(M \in BC\) theo tham số \(m\).
- Viết phương trình đường thẳng \(AM\) theo \(m\).
- Tính \(d\left( {B;AM} \right)\) và \(d\left( {C;AM} \right)\). Sử dụng công thức khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(ax + by + c = 0\) là \(d\left( {M;AB} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
- Để \({S_{\Delta MAB}} = 2{S_{\Delta MAC}} \Leftrightarrow d\left( {B;AM} \right) = 2d\left( {C;AM} \right)\), giải phương trình tìm \(m\).
