Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng \(\left( 0;2\pi \right)\) của phương trình \({{\sin }^{4}}\dfrac{x}{2}+{{\cos }^{4}}\dfrac{x}{2}=\dfrac{5}{8}.\)
Trả lời bởi giáo viên
Ta có \({{\sin }^{4}}\dfrac{x}{2}+{{\cos }^{4}}\dfrac{x}{2}=\dfrac{5}{8}\Leftrightarrow {{\left( {{\sin }^{2}}\dfrac{x}{2}+{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2} \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}\dfrac{x}{2}.{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}=\dfrac{5}{8}\)
\(\begin{align} & \Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{2}{{\sin }^{2}}x=\dfrac{5}{8}\Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{4}\left( 1-\cos 2x \right)=\dfrac{5}{8} \\ & \Leftrightarrow \cos 2x=-\,\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \,\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \\ & \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}. \\ \end{align}\)
Mà \(x\in \left( 0;2\pi \right)\) nên \(0<\pm \,\dfrac{\pi }{3}+k\pi <2\pi \)\(\Rightarrow x=\left\{ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{4\pi }{3};\dfrac{5\pi }{3} \right\}.\)
Vậy tổng các nghiệm cần tính là \(\sum{x}=\dfrac{\pi }{3}+\dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{5\pi }{3}=\dfrac{12\pi }{3}=4\pi .\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức hạ bậc, đưa về phương trình lượng giác cơ bản, dựa vào khoảng nghiệm xác định nghiệm cụ thể và tính tổng các nghiệm.
Câu hỏi khác
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 1 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 2 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 10 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 9 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 7 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
