Trong mặt phẳng hệ trục $O x y$, cho điểm $E(2 ; 2)$ và các đường thẳng $d: x+y-2=0 ; \Delta: x+y-8=0$. Tìm tọa độ các điểm $F \in d$ và $K \in \Delta$ sao cho $\Delta E F K$ vuông cân tại E.
Trả lời bởi giáo viên
\(F \in d \Rightarrow F(a;2 - a),K \in \Delta \Rightarrow K(b;8 - b)\)
\(\overrightarrow {EF} = (a - 2; - a),\overrightarrow {EK} = (b - 2;6 - b)\)
Theo giả thiết \(\Delta EFK\) vuông tại \(E\) nên \(EF \bot EK\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {EF} \cdot \overrightarrow {EK} = 0\)
\( \Leftrightarrow (a - 2)(b - 2) + ( - a) \cdot (6 - b) = 0\)
\( \Leftrightarrow ab - 4a - b + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow b = \dfrac{{4a - 2}}{{a - 1}}\)
Hơn nữa \(\Delta EFK\) cân tại \(E\) nên \(E{F^2} = E{K^2}\)
\( \Rightarrow {(a - 2)^2} + {( - a)^2} = {(b - 2)^2} + {(6 - b)^2}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} - 2a = {b^2} - 8b + 18\)
Thay \(b = \dfrac{{4a - 2}}{{a - 1}}\) vào ta được:
\({a^4} - 4{a^3} + 3{a^2} + 2a - 6 = 0 \Leftrightarrow (a + 1)\left( {{a^3} - 5{a^2} + 8a - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1 \Rightarrow b = 3}\\{a = 3 \Rightarrow b = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow F( - 1;3),K(3;5)\) hoặc \({\rm{ }}F(3; - 1),K(5;3)\)
Hướng dẫn giải:
Giải hai phương trình \(\overrightarrow {EF} \cdot \overrightarrow {EK} = 0\) và \(E{F^2} = E{K^2}\) để tìm a, b.
Câu hỏi khác
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 1 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 2 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 10 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 7 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 9 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
