Tìm m để phương trình $\sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x + 1}  = m$ (1) có nghiệm

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x + 1}$

$D = \mathbb{R}$

Ta có:

$\begin{array}{l}y' = \dfrac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }} - \dfrac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\\y' = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }} - \dfrac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + x + 1}  = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) > 0\\{\left( {2x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right) = {\left( {2x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} - x + 1} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Ta thấy hệ trên vô nghiệm vì

${\left( {2x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)$$= {\left( {2x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} - x + 1} \right)$

$\Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + 3} \right]$$= {\left( {2x + 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 3} \right]$

$\Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( {2x + 1} \right)^2}$ $\Leftrightarrow x = 0$ không thỏa mãn điều kiện.

Mà $y'\left( 0 \right) = 1 > 0 \Rightarrow y' > 0\forall x$ nên hàm số đồng biến

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \sqrt {{x^2} + x + 1} }} =  - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \sqrt {{x^2} + x + 1} }} = 1\end{array}$

Từ đó ta có bảng biến thiên

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $- 1 < m < 1$