Tìm $m$ để hệ $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 - m \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + m \le 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ có nghiệm.

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} - m \le 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \le m$

Do ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x$ nên để bpt trên có nghiệm thì $m \ge 0$.

Khi đó $- \sqrt m  \le x - 1 \le \sqrt m$ $\Leftrightarrow 1 - \sqrt m  \le x \le 1 + \sqrt m$

Tập nghiệm của $\left( 1 \right)$ là ${S_1} = \left[ {1 - \sqrt m ;1 + \sqrt m } \right]$.

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - x + {m^2} + m \le 0$ $\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2mx + {m^2}} \right) - \left( {x - m} \right) \le 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2} - \left( {x - m} \right) \le 0$ $\Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x - m - 1} \right) \le 0$ $\Leftrightarrow m \le x \le m + 1$

Tập nghiệm của $\left( 2 \right)$ là ${S_2} = \left[ {m;m + 1} \right]$

Để hệ đã cho có nghiệm thì ${S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset$

$\Leftrightarrow \left[ {1 - \sqrt m ;1 + \sqrt m } \right] \cap \left[ {m;m + 1} \right] \ne \emptyset \,\,\left( * \right)$

Cách 1:

$\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1 + \sqrt m \\1 - \sqrt m  \le m + 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le \sqrt m \,\,\left( 3 \right)\\m + \sqrt m  \ge 0\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.$

$\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge 0\\{m^2} - 2m + 1 \le m\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\{m^2} - 3m + 1 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\1 \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$

$\left( 4 \right)$ luôn đúng vì $m \ge 0$ nên $m + \sqrt m  \ge 0$.

Vậy $0 \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$.