Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^2}x + 3\sin 2x + 3{\cos ^2}x\):
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Bước 1:
Ta có
\(y = {\sin ^2}x + 3\sin 2x + 3{\cos ^2}x \) \(={\sin ^2}x +{\cos ^2}x + 3\sin 2x + 2{\cos ^2}x\) \(= 1 + 3\sin 2x + 2{\cos ^2}x \) \(= 1 + 3\sin 2x + 1 + \cos 2x \) \(= 2 + 3\sin 2x + \cos 2x\)
Bước 2:
$\Rightarrow y - 2 = 3\sin 2x + \cos 2x $$\Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {3\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} $
Bước 3:
$ {\left( {3\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} = {\left( {3.\sin 2x +1. \cos 2x} \right)^2}$
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki với $a=3;b=1;c=\sin 2x;d=\cos 2x$$ {\left( {3.\sin 2x +1. \cos 2x} \right)^2}$ $\le \left( {{3^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 10.1=10$
$\Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} \le 10$
$\Rightarrow - \sqrt {10} \le y - 2 \le \sqrt {10} $ $\Rightarrow 2 - \sqrt {10} \le y \le 2 + \sqrt {10}$
Bước 4:
Dấu “=” xảy ra
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin 2x}}{3} = \dfrac{{\cos 2x}}{1} \)\(\Leftrightarrow \dfrac{{\sin 2x}}{\cos 2x}=3\Leftrightarrow \tan 2x = 3\) \( \Leftrightarrow 2x = \arctan 3 + k\pi \) \(\Leftrightarrow x = \dfrac{{\arctan 3}}{2} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác:
${\cos ^2}x=1 + \cos 2x$ và ${\sin ^2}x +{\cos ^2}x=1$ biến đổi hàm số đã cho về dạng \(y = a\sin u\left( x \right) + b\cos u\left( x \right)\)
Bước 2: Biến đổi ${\left( {y + 1} \right)^2}$
Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – ki để đánh giá tìm max, min cho hàm số.
Bước 4: Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{c}{a}=\dfrac{d}{b}$
Lưu ý: $\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)=1$
Giải thích thêm:
Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án D vì tính nhầm giá trị \({3^2} + 1 = 7\) là sai.
Hoặc một số em có thể sẽ đánh giá như sau:
Vì \(0 \le {\sin ^2}x \le 1; - 1 \le \sin 2x \le 1;0 \le {\cos ^2}x \le 1\) nên \(0 - 3 + 3.0 \le {\sin ^2}x + 3\sin 2x + 3{\cos ^2}x \le 1 + 3.1 + 3.1 \Rightarrow - 3 \le y \le 7\) là sai vì không chú ý điều kiện xảy ra dấu “=”.
Câu hỏi khác
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - đề số 3 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 15 phút chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - đề số 2 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - đề số 1 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 15 phút chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - đề số 3 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - đề số 2 Toán 11 có lời giải chi tiết
