Tìm a để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - \left( {a + 1} \right)x + y = - a - 1\\x + \left( {a - 1} \right)y = 2\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x - y = 0\)
Trả lời bởi giáo viên
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} - \left( {a + 1} \right)x + y = - a - 1\\x + \left( {a - 1} \right)y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\x + \left( {a - 1} \right)\left[ { - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x} \right] = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\x + \left( {a - 1} \right)\left( { - a - 1} \right) + \left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\\left( {{a^2} - 1 + 1} \right)x - {a^2} + 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\{a^2}x = {a^2} + 1\end{array} \right.\end{array}\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình \({a^2}x = {a^2} + 1\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow a \ne 0\).
Với \(a \ne 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\{a^2}x = {a^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right).\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}}\\x = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}}\\x = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}}\end{array} \right.\)
Mà \(x - y = 0 \Rightarrow \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} - \dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} - a}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy \(a = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hướng dẫn giải:
+) Rút một ẩn theo ẩn còn lại từ phương trình thứ nhất, thế vào phương trình thứ hai.
+) Đưa phương trình về dạng \(ax = b\)
+) Để phương trình \(ax = b\) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(a \ne 0\)
+) Giải x và y theo a thay vào biểu thức \(x - y = 0\)