Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm \(a\) biết \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\dfrac{{{e^x}dx}}{{2 + {e^x}}}} = \ln \dfrac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}}\) với $a, b$ là các số nguyên dương.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Đặt \(t = {e^x} \Rightarrow dt = {e^x}dx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = {e^{ - 1}}\\x = 2 \Rightarrow t = {e^2}\end{array} \right.\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{{e^{ - 1}}}^{{e^2}} {\dfrac{{dt}}{{t + 2}}} = \left. {\ln \left| {t + 2} \right|} \right|_{{e^{ - 1}}}^{{e^2}} = \ln \left( {{e^2} + 2} \right) - \ln \left( {{e^{ - 1}} + 2} \right) = \ln \dfrac{{{e^2} + 2}}{{{e^{ - 1}} + 2}}\\ = \ln \dfrac{{{e^2} + 2}}{{\dfrac{1}{e} + 2}} = \ln \dfrac{{2e + {e^3}}}{{2e + 1}} = \ln \dfrac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ae + {e^3} = 2e + {e^3}\\ae + b = 2e + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
