Số nghiệm của phương trình \(\sin \,x\, + \sqrt 3 \,\cos \,x = 2\sin \,2x\) thuộc khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\) là

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\sin 2x\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \sin 2x\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin 2x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{3} = 2x + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{3} = \pi  - 2x + m2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{4\pi }}{9} + \dfrac{{m2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k,\,\,m \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)

Ta lại có: \(x \in \left( {0;\,\,2\pi } \right)\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 <  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi  < 2\pi \\0 < \dfrac{{4\pi }}{9} + \dfrac{{m2\pi }}{3} < 2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{3} < k2\pi  < \dfrac{{7\pi }}{3}\\ - \dfrac{{4\pi }}{9} < \dfrac{{m2\pi }}{3} < \dfrac{{14\pi }}{9}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{1}{6} < k < \dfrac{7}{6}\\ - \dfrac{2}{3} < m < \dfrac{7}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn bài toán.