Số nghiệm của phương trình $3\sqrt {x + 2}  - 6\sqrt {2 - x}  + 4\sqrt {4 - {x^2}}  = 10 - 3{\rm{x}}$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 2$

Đặt: $t = 3\sqrt {x + 2}  - 6\sqrt {2 - x} $

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} = 9\left( {x + 2} \right) + 36\left( {2 - x} \right) - 36\sqrt {4 - {x^2}} \\ \Leftrightarrow {t^2} = 9\left( {x + 2 + 8 - 4x - 4\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow {t^2} = 9\left( {10 - 3x - 4\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\\3\sqrt {x + 2}  - 6\sqrt {2 - x}  + 4\sqrt {4 - {x^2}}  = 10 - 3{\rm{x}}\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {x + 2}  - 6\sqrt {2 - x}  = 10 - 3x - 4\sqrt {4 - {x^2}} \\ \Rightarrow t = \dfrac{{{t^2}}}{9} \Leftrightarrow {t^2} = 9t \Leftrightarrow t\left( {t - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 9\end{array} \right.\end{array}$

+) Với $t = 0 \Rightarrow 3\sqrt {x + 2}  - 6\sqrt {2 - x}  = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {x + 2}  = 6\sqrt {2 - x}  \Leftrightarrow x + 2 = 8 - 4x \Leftrightarrow x = \dfrac{6}{5}$

+) Với $t = 9 \Rightarrow 3\sqrt {x + 2}  - 6\sqrt {2 - x}  = 9 \Leftrightarrow \sqrt {x + 2}  = 3 + 2\sqrt {2 - x} $

                    $ \Leftrightarrow x + 2 = 9 + 8 - 4x + 12\sqrt {2 - x}  \Leftrightarrow 5x - 15 = 12\sqrt {2 - x} $

Điều kiện: $5{\rm{x}} - 15 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$(không thoả mãn $ - 2 \le x \le 2$)

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{6}{5}\)