Câu hỏi:
2 năm trước
Phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \) có hai họ nghiệm có dạng \(x = \alpha + k2\pi ,\,x = \beta + k2\pi ,\)
\(\left( { - \dfrac{\pi }{2} < \alpha <\beta < \dfrac{\pi }{2}} \right)\) . Khi đó \(\alpha .\beta \) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Bước 1:
\({\mkern 1mu} \sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos x\sin \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}\)
Bước 2:
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{\;}} - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\alpha {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \dfrac{\pi }{{12}}}\\{\beta {\rm{\;}} = \dfrac{{5\pi }}{{12}}}\end{array}} \right. \)
(Vì $ - \dfrac{\pi }{{12}}$ và $ \dfrac{{5\pi }}{{12}}$ đều thỏa mãn điều kiện đề bài)
\(\Rightarrow \alpha .\beta {\rm{\;}} = \dfrac{{ - 5{\pi ^2}}}{{144}}\)
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\):
\(a.\sin x+b.\cos x=c\)
+) Nếu $a^2+b^2 \ge c$ thì chia hai vế cho $\sqrt{a^2+b^2}$
+) Biến đổi $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ về dạng $\cos m$ và $\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ về dạng $\sin m$.
+) Sử dụng công thức cộng: $\sin a. \cos b+\sin b. \cos a=\sin (a+b)$
Bước 2: Giải phương trình tìm giá trị \(\alpha ,\beta \) và suy ra đáp án.
$\sin x=\sin a$\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a + k2\pi }\\{x =\pi-a + k2\pi }\end{array}} \right.\)
