Nghiệm của phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ thỏa mãn $- \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}$ là:

Bước 1:

Ta có: $\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{6}$

Bước 2:

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Bước 3:

+) Xét $x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi$

Ta có $- \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{2} \le \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \le \dfrac{\pi }{2}$

$\begin{array}{l} - \dfrac{{2\pi }}{3} \le k2\pi  \le \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow  - \dfrac{{2\pi }}{{3.2\pi }} \le k \le \dfrac{\pi }{{3.2\pi }}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{3} \le k \le \dfrac{1}{6}\end{array}$

Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0$. Thay vào x ta được: $x = \dfrac{\pi }{6}$

+) Xét $x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi$

$\begin{array}{l} - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \dfrac{\pi }{2} \le \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi  \le \dfrac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{4\pi }}{3} \le k2\pi  \le  - \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow  - \dfrac{{4\pi }}{{3.2\pi }} \le k \le  - \dfrac{\pi }{{3.2\pi }}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{2}{3} \le k \le  - \dfrac{1}{6}\end{array}$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên không có giá trị k thỏa mãn

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là $x = \dfrac{\pi }{6}$