Nghiệm của phương trình \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn $ - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}$ là:

Bước 1:

Ta có: \(\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{6}\)

Bước 2:

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

Bước 3:

+) Xét $x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi$

Ta có $ - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{2} \le \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \le \dfrac{\pi }{2} $

\(\begin{array}{l} - \dfrac{{2\pi }}{3} \le k2\pi  \le \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow  - \dfrac{{2\pi }}{{3.2\pi }} \le k \le \dfrac{\pi }{{3.2\pi }}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{3} \le k \le \dfrac{1}{6}\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\). Thay vào x ta được: \(x = \dfrac{\pi }{6}\)

+) Xét \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \)

\(\begin{array}{l} - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \dfrac{\pi }{2} \le \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi  \le \dfrac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{4\pi }}{3} \le k2\pi  \le  - \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow  - \dfrac{{4\pi }}{{3.2\pi }} \le k \le  - \dfrac{\pi }{{3.2\pi }}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{2}{3} \le k \le  - \dfrac{1}{6}\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên không có giá trị k thỏa mãn

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là \(x = \dfrac{\pi }{6}\)