Câu hỏi:
2 năm trước
Nếu \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)\sin xdx} = 20\), \(\int\limits_0^\pi {xf'\left( x \right)\sin xdx} = 5\) thì \(\int\limits_0^{{\pi ^2}} {f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx} \) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi ^2}} {f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx} \) .
Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow 2tdt = dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = {\pi ^2} \Rightarrow t = \pi \end{array} \right.\), khi đó ta có \(I = \int\limits_0^\pi {f\left( t \right)\cos \left( t \right)2tdt} = \int\limits_0^\pi {2f\left( x \right)\cos x.xdx} \).
Xét tích phân \(\int\limits_0^\pi {xf'\left( x \right)\sin xdx} = 5\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\sin x\\f'\left( x \right)dx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {\sin x + x\cos x} \right)du\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^\pi {xf'\left( x \right)\sin xdx} = 5\\ \Leftrightarrow \left. {\left( {x\sin x.f\left( x \right)} \right)} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {\left[ {f\left( x \right)\sin x + xf\left( x \right)\cos x} \right]dx} = 5\\ \Leftrightarrow - \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)\sin xdx} - \int\limits_0^\pi {xf\left( x \right)\cos xdx} = 5\\ \Leftrightarrow - 20 - \dfrac{I}{2} = 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{I}{2} = - 25\\ \Leftrightarrow I = - 50\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
- Xét tích phân \(\int\limits_0^{{\pi ^2}} {f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx} \), sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt x \).
- Xét tích phân \(\int\limits_0^\pi {xf'\left( x \right)\sin xdx} = 5\), sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\sin x\\f'\left( x \right)dx = dv\end{array} \right.\).
