Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} - 2x}}\) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) là
Trả lời bởi giáo viên
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} - 2x}}\) trong \(\left( {2; + \infty } \right)\) ta có:
\( \dfrac{1}{{{x^2} - 2x}}=\dfrac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}}=\dfrac{1}{{2\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{1}{{2x}} \)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\int {f\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{1}{{{x^2} - 2x}}dx} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{{2\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{1}{{2x}}} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\ln \left| {x - 2} \right| - \dfrac{1}{2}\ln \left| x \right| + C\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\ln \left| {x - 2} \right| - \ln \left| x \right|} \right) + C.\end{array}\)
Vì \(x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| = x - 2\\\left| x \right| = x\end{array} \right.\)
Do đó \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{\ln \left( {x - 2} \right) - \ln x}}{2} + C\).
Hướng dẫn giải:
- Phân tích \(f\left( x \right)\) thành \(\dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{{x - 2}}\).
- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx} = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).
- Sử dụng điều kiện của \(x\) để phá trị tuyệt đối.
