Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Bước 1:
$\begin{array}{l}
\left( {{{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)' = 2\tan \dfrac{x}{2}\left( {\tan \dfrac{x}{2}} \right)'\\
\end{array}$
Bước 2:
$= 2\tan \dfrac{x}{2}.\dfrac{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)'}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}$
$= 2\tan \dfrac{x}{2}.\dfrac{\dfrac{1}{2}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\\
= \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{\cos \dfrac{x}{2}}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}$
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
Bước 1: Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp $(u^n)'=n.u'.u^n-1$.
Bước 2: Sử dụng công thức đạo hàm của hàm $(\tan u)'=\dfrac{u'}{\cos^2 u}$
Cách 2:
\({\tan ^2}\dfrac{x}{2} = \dfrac{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\), sử dụng các công thức hạ bậc, sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương: \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)
Giải thích thêm:
Cách khác:
\(\begin{array}{l}{\tan ^2}\dfrac{x}{2} = \dfrac{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{{\dfrac{{1 - \cos x}}{2}}}{{\dfrac{{1 + \cos x}}{2}}} = \dfrac{{1 - \cos x}}{{1 + \cos x}}\\ \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {1 - \cos x} \right)'\left( {1 + \cos x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)'}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{\sin x\left( {1 + \cos x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right)\left( { - \sin x} \right)}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{\sin x + \sin x\cos x + \sin x - \sin x\cos x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{4\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}{{{{\left( {2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}\end{array}\)
