Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x}}{x}$ trên đoạn $\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]$ là:

TXĐ: $x \ne 0$.

$f'\left( x \right) = \dfrac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} < 0 \forall x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]$

Thật vậy,

Xét hàm $g\left( x \right) = x\cos x - \sin x$ trên $\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]$ có:

$g'\left( x \right) = \cos x - x\sin x - \cos x$ $=  - x\sin x < 0,\forall x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]$

Do đó hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]$.

Suy ra $g\left( x \right) \le g\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right)$ $= \dfrac{\pi }{6}.\cos \dfrac{\pi }{6} - \sin \dfrac{\pi }{6} < 0$ hay $x\cos x - \sin x < 0$ với $\forall x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]$

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{3}{\pi }$.