Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x}}{x}$ trên đoạn $\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]$ là:
Trả lời bởi giáo viên
TXĐ: $x \ne 0$.
$f'\left( x \right) = \dfrac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} < 0 \forall x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]$
Thật vậy,
Xét hàm \(g\left( x \right) = x\cos x - \sin x\) trên \(\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]\) có:
\(g'\left( x \right) = \cos x - x\sin x - \cos x\) \( = - x\sin x < 0,\forall x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]\)
Do đó hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]\).
Suy ra \(g\left( x \right) \le g\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right)\) \( = \dfrac{\pi }{6}.\cos \dfrac{\pi }{6} - \sin \dfrac{\pi }{6} < 0\) hay \(x\cos x - \sin x < 0\) với \(\forall x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]\)
$ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{3}{\pi }$.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số:
- Tính \(y'\) và tìm các nghiệm của \(y' = 0\).
- Tính giá trị hàm số tại các điểm đặc biệt và kết luận.