Câu hỏi:
2 năm trước
Xét hai số phức z1,z2 thỏa mãn |z1|=1,|z2|=2 và |z1−z2|=√3. Giá trị lớn nhất của |3z1+z2−5i| bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Đặt z1=a+bi,z2=c+di với a,b,c,d∈R.
Theo giả thiết ta có: |z1|=1,|z2|=2 và |z1−z2|=√3.
=>a2+b2=1,c2+d2=4, (a−c)2+(b−d)2=3
(a−c)2+(b−d)2=3 ⇔a2−2ac+c2+b2−2bd+d2=3⇒ac+bd=1.
Ta có 3z1+z2=3(a+c)+(3b+d)i nên
|3z1+z2|=(3a+c)2+(3b+d)2 =9(a2+b2)+(c2+d2)+6(ac+bd)=19
Áp dụng bất đẳng thức |z+z′|≤|z|+|z′|, ta có ngay
|3z1+z2−5i|≤|3z1+z2|+|−5i|=√19+5
Hướng dẫn giải:
- Đặt z1=a+bi,z2=c+di với a,b,c,d∈R và tính ac+bd
- Sử dụng bất đẳng thức |z+z′|≤|z|+|z′|, tìm giá trị lớn nhất của |3z1+z2−5i|
