Xét hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = 2\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt 3 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {3{z_1} + {z_2} - 5i} \right|\) bằng

Đặt \({z_1} = a + bi,{z_2} = c + di\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\).

Theo giả thiết ta có: \(\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = 2\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt 3 \).

=>\({a^2} + {b^2} = 1,{c^2} + {d^2} = 4,\) \({(a - c)^2} + {(b - d)^2} = 3\)

\({(a - c)^2} + {(b - d)^2} = 3\) \( \Leftrightarrow {a^2} - 2ac + {c^2} + {b^2} - 2bd + {d^2} = 3\)\( \Rightarrow ac + bd = 1\).

Ta có \(3{z_1} + {z_2} = 3(a + c) + (3b + d)i\) nên

\(\left| {3{z_1} + {z_2}} \right| = {(3a + c)^2} + {(3b + d)^2}\) \( = 9\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{c^2} + {d^2}} \right) + 6(ac + bd) = 19\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left| {z + {z^\prime }} \right| \le |z| + \left| {{z^\prime }} \right|\), ta có ngay

\(\left| {3{z_1} + {z_2} - 5i} \right| \le \left| {3{z_1} + {z_2}} \right| + | - 5i| = \sqrt {19}  + 5\)