Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
Trả lời bởi giáo viên
Điều kiện: \(x \ne 1.\)
\( \Rightarrow x = 1\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{1 + \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \dfrac{1}{x}}} = 2\)
\( \Rightarrow y = 2\) là 1 đường TCN của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{1 - \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \dfrac{1}{x}}} = 0\)
\( \Rightarrow y = 0\) là 1 đường TCN của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hám số đã cho có 2 TCN và 1 TCĐ.
Hướng dẫn giải:
+) Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \).
+) Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = b.\)