Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ sao cho \(n\ln n - \int_1^n {\ln xdx} \) có giá trị không vượt quá $2017$
Trả lời bởi giáo viên
\(I = \int_1^n {\ln xdx} \)
Đặt $\ln x = u;dv=dx$ . Suy ra \(\dfrac{1}{x}dx = du; v = x\)
\(I = \left. {\left( {x\ln x} \right)} \right|_1^n - \int_1^n {\dfrac{x}{x}dx = n\ln n - n + 1} \)
Biểu thức ban đầu sẽ là: $n - 1$
Để $n-1\le 2017$ thì \(n \le 2018\) và $n$ nguyên dương
Nên sẽ có $2018$ giá trị của $n$
Hướng dẫn giải:
+ Tính tích phân \(\int_1^n {\ln xdx} \) bằng phương pháp tích phân từng phần:
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{\left( {ax + b} \right)}}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)
+ Rút gọn biểu thức ban đầu theo $n$ .