Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a.\) Biết rằng tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \(\left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA} } \right|\) là đường tròn cố định có bán kính \(R.\) Tính bán kính \(R\) theo \(a.\)

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Ta có \(2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} \)\( = 2\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)\)

Chọn điểm \(I\) sao cho \(2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right) + \overrightarrow {IC}  - \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow 0 .\)

Mà \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = 3\,\overrightarrow {IG} .\)

Khi đó \(9\,\overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {IC}  - \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 9\overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 9\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow {CA} \) \(\left(  *  \right)\)

Do đó \(\left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA} } \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {9\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\) \( \Leftrightarrow 9MI = AB\)

Vì \(I\) là điểm cố định thỏa mãn \(\left(  *  \right)\) nên tập hợp các điểm \(M\) cần tìm là đường tròn tâm \(I,\) bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{9} = \dfrac{a}{9}.\)