Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Vẽ phân giác \(BD.\) So sánh \(AB\) và \(AD\), \(AD\) và \(DC.\)  

Từ \({\rm{D}}\) kẻ đường vuông góc với \(BC\) cắt \(BC\) tại \(H.\)

Xét hai tam giác vuông \(ABD\) và \(HBD\) có:

\(BD\) cạnh chung

\(\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = {90^o}\)

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\))

\(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cạnh huyền – góc nhọn).

\( \Rightarrow AD = HD\) (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(\widehat {{D_1}}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) của \(\Delta BDH\)  nên ta có \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{B_2}} + \widehat {DCH} \Rightarrow \widehat {{D_1}} > \widehat {{B_2}}\).

Mà \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\)) nên \(\widehat {{D_1}} > \widehat {{B_1}}\) suy ra \(AB > AD.\)

Xét \(\Delta DHC\) có \(\widehat {DHC} = {90^o}\) nên \(DC > HD.\)

Mặt khác \(AD = HD\,\,(cmt)\) nên \(DC > AD.\)