Cho tam giác $ABC,AB = AC = 10cm,$$BC = 12cm.$ Gọi $I$ là giao điểm của các đường phân giác của tam giác $ABC.$ Tính $BI$ ?

- Ta có $AB = AC = 10 cm$

Suy ra \(\Delta ABC\) cân tại A.

- Có I là giao các đường phân giác của \(\Delta ABC\).

Suy ra $AI, BI$ là đường phân giác của \(\Delta ABC\).

- Gọi $H$ là giao của $AI$ và $BC.$

- Khi đó ta có $AH$ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao,

vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân $ABC$ (tính chất tam giác cân).

\( \Rightarrow \) $H$ là trung điểm của cạnh $BC$ \( \Rightarrow BH = HC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6\;cm\).

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} + {6^2} = {10^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} = 100 - 36 = 64\\ \Rightarrow AH = 8\end{array}\)

Vì $BI$ là phân giác của tam giác $ABH$ nên:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{BH}} = \dfrac{{AI}}{{IH}} = \dfrac{{AH - IH}}{{IH}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{6} = \dfrac{{8 - IH}}{{IH}}\\ \Leftrightarrow 10IH = 48 - 6IH\\ \Leftrightarrow IH = 3\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác $BHI$ vuông tại $H,$ ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,B{I^2} = I{H^2} + B{H^2}\\ \Leftrightarrow B{I^2} = {3^2} + {6^2}\\ \Leftrightarrow B{I^2} = 45\\ \Rightarrow BI = 3\sqrt 5 \end{array}$