Cho số phức z thỏa mãn $\left| {z - 1} \right| = \left| {z + 2i} \right|$. Quỹ tích điểm biểu diễn số phức $w = \dfrac{{3iz + 1 - i}}{{z - 1}}$ là đường tròn có tâm $I\left( {a;b} \right)$ bán kính $R$. Tìm $R + a + b$.

Chỉ điền số nguyên, phân số dạng a/b

Đáp án:

$\begin{array}{l}w = \dfrac{{3iz + 1 - i}}{{z - 1}} \Leftrightarrow 3iz + 1 - i = w.\left( {z - 1} \right)\\ \Leftrightarrow wz - w - 3iz - 1 + i = 0\\ \Leftrightarrow z\left( {w - 3i} \right) = w + 1 - i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{w + 1 - i}}{{w - 3i}}\end{array}$

Thay vào biểu thức $\left| {z - 1} \right| = \left| {z + 2i} \right|$ ta được:

$\begin{array}{l}\left| {\dfrac{{w + 1 - i}}{{w - 3i}} - 1} \right| = \left| {\dfrac{{w + 1 - i}}{{w - 3i}} + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{w + 1 - i - w + 3i}}{{w - 3i}}} \right| = \left| {\dfrac{{w + 1 - i + 2i\left( {w - 3i} \right)}}{{w - 3i}}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{1 + 2i}}{{w - 3i}}} \right| = \left| {\dfrac{{w\left( {1 + 2i} \right) + 7 - i}}{{w - 3i}}} \right|\\ \Rightarrow \left| {1 + 2i} \right| = \left| {w\left( {1 + 2i} \right) + 7 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 + 2i} \right|}}{{\left| {1 + 2i} \right|}} = \dfrac{{\left| {w\left( {1 + 2i} \right) + 7 - i} \right|}}{{\left| {1 + 2i} \right|}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {w\left( {1 + 2i} \right) + 7 - i} \right|}}{{\left| {1 + 2i} \right|}} = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{w\left( {1 + 2i} \right) + 7 - i}}{{1 + 2i}}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {w + \dfrac{{7 - i}}{{1 + 2i}}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {w + 1 - 3i} \right| = 1\end{array}$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm $I\left( { - 1;3} \right)$ bán kính R=1

$\Rightarrow R + a + b = 1 - 1 + 3 = 3$