Câu hỏi:
2 năm trước
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) sao cho \(B = \sqrt {2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 16} - 3{x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Phương trình có hai nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) = 2m + 1 \ge 0 $ $\Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}$
\(B = \sqrt {2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 16} - 3{x_1}{x_2} = \sqrt {2{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2} + 16} - 3{x_1}{x_2}\)
\( = \sqrt {2{{\left( {2m + 2} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} + 2} \right) + 16} - 3\left( {{m^2} + 2} \right) = \sqrt {4{m^2} + 16m + 16} - 3\left( {{m^2} + 2} \right)\)
\( = 2m + 4 - 3\left( {{m^2} + 2} \right) = - 3{m^2} + 2m - 2\)
Xét hàm số \(y = - 3{m^2} + 2m - 2\) với \(m \ge \dfrac{1}{2}\)
Bảng biến thiên
Suy ra giá trị \(\mathop {\max y}\limits_{m \ge \dfrac{1}{2}} = - \dfrac{7}{4}\) khi \(m = \dfrac{1}{2}\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(B\) là \( - \dfrac{7}{4}\) khi \(m = \dfrac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng hệ thức Vi – et thay vào biểu thức bài cho.
- Tìm GTLN của biểu thức đó và kết luận.
