Cho  phương trình của $\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ biết rằng hàm số  có giá trị lớn nhất bằng 1 và đồ thị hàm số đi qua các điểm $A\left( {2;\,\,0} \right),\,\,B\left( { - 2;\,\, - 8} \right)$. Tình tổng ${a^2} + {b^2} + {c^2}$.

Dễ thấy rằng đồ thị của $\left( P \right)$ có đỉnh đặt trên đường thẳng $y = 1$ và hệ số $m < 0.$

Do đó, phương trình của $\left( P \right)$ có dạng $y = m{\left( {x - u} \right)^2} + 1\,\,\left( {m < 0} \right)$.

$\left( P \right)$đi qua các điểm $A\left( {2;\,\,0} \right),\,\,B\left( { - 2;\,\, - 8} \right)$ nên có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}m{\left( {2 - u} \right)^2} + 1 = 0\\m{\left( { - 2 - u} \right)^2} + 1 =  - 8\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{1}{{{{\left( {2 - u} \right)}^2}}}\\m =  - \dfrac{9}{{{{\left( { - 2 - u} \right)}^2}}}\end{array} \right.$$ \Rightarrow  - \dfrac{1}{{{{\left( {2 - u} \right)}^2}}} =  - \dfrac{9}{{{{\left( { - 2 - u} \right)}^2}}}$

$ \Rightarrow {\left( {u + 2} \right)^2} = 9{\left( {2 - u} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow 8{u^2} - 40u + 32 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 1\\u = 4\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\m =  - 1\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 4\\m =  - \dfrac{1}{4}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.$

Từ đây có hai phương trình $\left( P \right)$ thỏa mãn là $y =  - {x^2} + 2x,\,\,\,y =  - \dfrac{1}{4}{x^2} + 2x - 3$.

Suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 5$ hoặc ${a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{{209}}{{16}}$.