Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{ - 1}}{2}\quad \left( {a,b \in \mathbb{R}} \right).\) Tổng \(S = {a^2} + {b^2}\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại $x = 1$ nên biểu thức tử nhận $x = 1$ làm nghiệm, hay $1 + a + b = 0$.
Áp dụng vào giả thiết, được $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + ax - 1 - a}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1 + a} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = - \dfrac{1}{2}$.
$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + 1 + a}}{{x + 1}} = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{2 + a}}{2} = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = - 3$.
Suy ra $b = 2$.
Vậy ${a^2} + {b^2} = 13$.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét: \(x = 1\) là nghiệm của mẫu và hàm số có giới hạn hữu hạn nên \(x = 1\) cũng phải là nghiệm của tử.
