Cho khối nón đỉnh \(S\) có bán kính đáy bằng \(2\sqrt 3 a\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho \(AB = 4a\). Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng \((SAB)\) bằng $2 a$, thể tích của khối nón đã cho bằng

Ta có thể tích của khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h = \dfrac{1}{2}\pi {r^2}h\)

Có \(r = 2\sqrt 3 a\). Ta cần tìm h=SO.

Gọi \(I\) là trung điểm của $A B$.

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SI \bot AB(\Delta SAB\text{ cân})}\\{OI \bot AB(\Delta OAB\text{ cân})}\end{array} \Rightarrow AB \bot (SOI)} \right.\)

Mà \(AB \subset (SAB) \Rightarrow (SAB) \bot (SOI)\)

Kẻ \(OH \bot SI\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAB) \bot (SOI)}\\{(SAB) \cap (SOI) = SI \Rightarrow OH \bot (SAB)}\\{OH \bot SI}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(d(O,(SAB)) = OH = 2a\)

Xét  vuông tại \(I\) ta có:

\(OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}}  = \sqrt {O{A^2} - {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{{(2\sqrt 3 a)}^2} - {{\left( {\dfrac{{4a}}{2}} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 a\)

Xét  vuông tại \(S\) ta có:

\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{I^2}}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{O{I^2}}} = \dfrac{{O{I^2} - O{H^2}}}{{O{H^2} \cdot O{I^2}}}\)

\( \Rightarrow S{O^2} = \dfrac{{O{H^2} \cdot O{I^2}}}{{O{I^2} - O{H^2}}}\)

\( \Rightarrow SO = \dfrac{{OH \cdot OI}}{{\sqrt {O{I^2} - O{H^2}} }}\)\( = \dfrac{{2a \cdot 2\sqrt 2 a}}{{\sqrt {{{(2\sqrt 2 a)}^2} - {{(2a)}^2}} }} = 2\sqrt 2 a\)

Vậy \(V = \dfrac{1}{3}{S_d} \cdot h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {(OA)^2}.SO\)\( = \dfrac{1}{3}\pi  \cdot {(2\sqrt 3 a)^2} \cdot 2\sqrt 2 a = 8\sqrt 2 \pi {a^3}\).